超几何分布公式

更新日期：2026-09-18 01:34:39

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超几何分布公式

内容

超几何分布是概率论中一种重要的离散概率分布，常用于在不放回抽样的情况下计算成功事件发生的概率。与二项分布不同，超几何分布适用于总体有限且抽样时不放回的情况，因此更适用于实际生活中的抽样调查、质量检验等场景。

一、基本概念

超几何分布描述的是：从一个有限的总体中抽取样本时，已知总体中有一定数量的成功项和失败项，从中随机抽取若干样本，其中恰好有k个成功项的概率。

设总体中有N个个体，其中有K个“成功”个体，其余为“失败”个体。从总体中抽取n个个体（不放回），则这n个个体中有k个“成功”的概率服从超几何分布。

二、超几何分布公式

超几何分布的概率质量函数（PMF）如下：

P(X = k) = \frac{{\dbinom{K}{k} \dbinom{N - K}{n - k}}}{{\dbinom{N}{n}}}

其中：

- $ N $：总体数量

- $ K $：总体中成功项的数量

- $ n $：抽取的样本数量

- $ k $：抽取样本中成功项的数量

- $ \dbinom{a}{b} $：组合数，表示从a个元素中选出b个的方式数

三、关键参数说明

四、典型应用场景

五、示例计算

假设有一个盒子中有10个球，其中3个是红球（成功项），7个是蓝球（失败项）。从中不放回地抽取4个球，求恰好抽到2个红球的概率。

根据公式：

P(X = 2) = \frac{{\dbinom{3}{2} \dbinom{7}{2}}}{{\dbinom{10}{4}}}

= \frac{3 \times 21}{210} = \frac{63}{210} = 0.3

即抽到2个红球的概率为30%。

六、总结

超几何分布是一种适用于有限总体、不放回抽样的概率模型，广泛应用于统计学、质量控制和实际调查中。掌握其公式和应用方法有助于更好地理解现实问题中的概率现象，并作出科学决策。

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